pytago vĩ đại

Tiểu sử Pitago


Tượng Pythagoras


Pythagoras, người ở giữa với cuốn sách, trong bức Trường Athena của Rafael
Pythagoras sinh tại đảo Samos (Bờ biển phía Tây Hy Lạp), ngoài khơi Tiểu Á. Ông là con của Pythais (mẹ ông, người gốc Samos) và Mnesarchus (cha ông, một thương gia từ Tyre). Khi đang tuổi thanh niên, ông rời thành phố quê hương tới Crotone phía nam Ý, để trốn tránh chính phủ chuyên chế Polycrates. Theo Iamblichus, Thales, rất ấn tượng trước khả năng của ông, đã khuyên Pythagoras tới Memphis ở Ai Cập học tập với các người tế lễ nổi tiếng tài giỏi tại đó. Có lẽ ông đã học một số nguyên lý hình học, sau này là cảm hứng để ông phát minh ra định lý sau này mang tên ông tại đó.
Ngay sau khi di cư từ Samos tới Crotone, Pythagoras đã lập ra một tổ chức tôn giáo kín rất giống với (và có lẽ bị ảnh hưởng bởi) sự thờ cúng Orpheus trước đó.
Pythagoras đã tiến hành một cuộc cải cách đời sống văn hoá ở Crotone, thúc giục các công dân ở đây noi theo đạo đức và hình thành nên một giới tinh hoa (elite) xung quanh ông. Trung tâm văn hoá này có các quy định rất chặt chẽ. Ông mở riêng các lớp cho nam và nữ sinh. Những người tham gia tổ chức của Pythagoras tự gọi mình là Mathematikoi. Họ sống trong trường, không được có sở hữu cá nhân và bị yêu cầu phải ăn chay. Các sinh viên khác sống tại các vùng gần đó cũng được cho phép tham gia vào lớp học của Pythagoras. Được gọi là Akousmatics, các sinh viên đó được ăn thịt và có đồ sở hữu riêng.
Theo Iamblichus, các môn đồ Pythagoras sống một cuộc sống theo quy định sẵn với các môn học tôn giáo, các bữa ăn tập thể, tập thể dục, đọc và học triết học. Âm nhạc được coi là nhân tố tổ chức chủ chốt của cuộc sống này: các môn đồ cùng nhau hát các bài ca tụng Apollo; họ dùng đàn lyre để chữa bệnh cho tâm hồn và thể xác, ngâm thơ trước và sau khi ngủ dậy để tăng cường trí nhớ.
Lịch sử của Định lý Pythagoras mang tên ông rất phức tạp. Việc Pythagoras đích thân chứng minh định lý này hay không vẫn còn chưa chắc chắn, vì trong thế giới cổ đại khám phá của học trò cũng thường được gán với cái tên của thầy. Văn bản đầu tiên đề cập tới định lý này có kèm tên ông xuất hiện năm thế kỷ sau khi Pythagoras qua đời, trong các văn bản của Cicero và Plutarch. Mọi người tin rằng nhà toán học Ấn Độ Baudhayana đã tìm ra Định lý Pythagoras vào khoảng năm 800 TCN, 300 năm trước Pythagoras.
Ngày nay, Pythagoras được kính trọng với tư cách là người đề xướng ra Ahlu l-Tawhīd, hay đức tin Druze, cùng với Platon.
Trong tiếng Anh, môn đồ của Pythagoras thường được gọi là "Pythagorean". Đa số họ được nhớ đến với tư cách là các nhà triết học toán và họ đã để lại ảnh hưởng trên sự hình thành các tiên đề hình học, sau hai trăm năm phát triển đã được Euclid viết ra trong cuốn Elements. Các môn đồ Pythagoras đã tuân thủ một quy định về sự im lặng được gọi là echemythia, hành động vi phạm vào quy định này sẽ dẫn tới án tử hình. Trong cuốn tiểu sử Pythagoras (được viết bảy thế kỷ sau thời ông) Porphyry đã bình luận rằng sự im lặng này "không phải hình thức thông thường." Các môn đồ Pythagoras được chia vào nhóm trong được gọi là mathematikoi (nhà toán học), nhóm ngoài là akousmatikoi (người nghe). Porphyry đã viết "các mathematikoi học chi tiết và tỉ mỉ hơn về sự hiểu biết, akousmatikoi là những người chỉ được nghe giảng về các tiêu đề rút gọn trong các tác phẩm (của Pythagoras), và không được giảng giải rõ thêm". Theo Iamblichus, akousmatikoi là các môn đồ thông thường được nghe các bài giảng do Pythagoras đọc từ sau một bức màn. Họ không được phép nhìn thấy Pythagoras và không được dạy những bí mật bên trong của sự thờ phụng. Thay vào đó, họ được truyền dạy các quy luật đối xử và đạo đức dưới hình thức khó hiểu, những câu nói ngắn gọn ẩn dấu ý nghĩa bên trong. Akousmatikoi coi mathematikoi là các môn đồ Pythagoras thật sự, nhưng mathematikoi lại không coi akousmatikoi như vậy. Sau khi lính của Cylon, một môn đồ bất mãn, giết Pythagoras và một số mathematikoi, hai nhóm này hoàn toàn chia rẽ với nhau, với vợ Pythagoras là Theano cùng hai cô con gái lãnh đạo nhóm mathematikoi.
Theano, con gái của Brontinus, là một nhà toán học. Bà được cho là người đã viết các tác phẩm về toán học, vật lý, y học và tâm lý học trẻ em, dù không tác phẩm nào còn tồn tại đến ngày nay. Tác phẩm quan trọng nhất của bà được cho là về các nguyên lý của sự trung dung. Ở thời phụ nữ thường bị coi là vật sở hữu và chỉ đóng vai trò người nội trợ, Pythagoras đã cho phép phụ nữ có những hoạt động ngang quyền với nam giới trong tổ chức của ông.
Tổ chức của Pythagoras gắn liền với những điều ngăn cấm kỳ lạ và mê tín, như không được bước qua một thanh giằng, không ăn các loại đậu (vì bên trong đậu "có chứa" phôi thai người). Các quy định đó có lẽ tương tự với những điều mê tín thời sơ khai, giống như "đi dưới một cái thang sẽ bị đen đủi," những điều mê tín không mang lại lợi ích nhưng cũng không nên bỏ qua. Tính ngữ mang tính lăng nhục mystikos logos (bài nói thần bí) đã từng hay được dùng để miêu tả các công việc của Pythagoras với mục đích lăng mạ ông. Hàm ý ở đây, akousmata có nghĩa là "các quy định," vì thế những điều cấm kỵ mê tin ban đầu được áp dụng cho những akousmatikoi, và nhiều quy định có lẽ đã được tạo ra thêm sau khi Pythagoras đã chết và cũng không liên quan gì đến các mathematikoi (được cho là những người duy nhất gìn giữ truyền thống của Pythagoras). Mathematikoi chú trọng nhiều hơn tới sự hiểu tường tận vấn đề hơn akousmatikoi, thậm chí tới mức không cần thiết như ở một số quy định và các nghi lễ tâm linh. Đối với mathematikoi, trở thành môn đồ của Pythagoras là vấn đề về bản chất thiên phú và sự thấu hiểu bên trong.
Các loại đậu, màu đen và trắng, là phương tiện sử dụng trong các cuộc biểu quyết. Câu châm ngôn "abstain from beans" (tránh xa đậu) trong tiếng Anh có lẽ đơn giản chỉ sự hô hào không tham gia bỏ phiếu. Nếu điều này đúng, có lẽ nó là một ví dụ tuyệt vời để biết các ý tưởng đã có thể bị bóp méo như thế nào khi truyền từ người này qua người khác và không đặt trong đúng hoàn cảnh. Cũng có một cách khác để tránh akousmata - bằng cách nói bóng gió. Chúng ta có một số ví dụ như vậy, Aristotle đã giải thích cho họ: "đừng bước qua cái cân", nghĩa là không thèm muốn; "đừng cời lửa bằng thanh gươm", nghĩa là không nên bực tức với những lời lẽ châm chích của một kẻ đang nóng giận; "đừng ăn tim", nghĩa là không nên bực mình với nỗi đau khổ, vân vân. Chúng ta có bằng chứng về sự ngụ ý kiểu này đối với các môn đồ Pythagoras ít nhất ở thời kỳ đầu thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên. Nó cho thấy rằng những câu nói kỳ lạ rất khó hiểu đối với người mới gia nhập.
Các môn đồ Pythagoras cũng nổi tiếng vì lý thuyết luân hồi của tâm hồn, và chính họ cũng cho rằng các con số tạo nên trạng thái thực của mọi vật. Họ tiến hành các nghi lễ nhằm tự làm trong sạch và tuân theo nhiều quy định sống ngày càng khắt khe mà họ cho rằng sẽ khiến tâm hồn họ tiến lên mức cao hơn gần với thượng đế. Đa số những quy định thần bí liên quan tới tâm hồn đó dường như liên quan chặt chẽ tới truyền thống Orpheus. Những tín đồ Orpheus ủng hộ việc thực hiện các lễ nghi gột rửa tội lỗi và lễ nghi để đi xuống địa ngục. Pythagoras có liên hệ chặt chẽ với Pherecydes xứ Syros, nhà bình luận thời cổ được cho là người Hy Lạp đầu tiên truyền dạy thuyết luân hồi tâm hồn. Các nhà bình luận thời cổ đồng ý rằng Pherecydes là vị thầy có ảnh hưởng lớn nhất tới Pythagoras. Pherecydes đã trình bày tư tưởng của mình về tâm hồn thông qua các thuật ngữ về một pentemychos ("năm góc" hay "năm hốc ẩn giấu") - nguồn gốc có lẽ thích hợp nhất giải thích việc các môn đồ Pythagoras sử dụng ngôi sao năm cánh làm biểu tượng để nhận ra nhau giữa họ và biểu tượng của sức mạnh bên trong (ugieia).
Cũng chính các môn đồ Pythagoras đã khám phá ra rằng mối quan hệ giữa các nốt nhạc có thể được thể hiện bằng các tỷ lệ số của một tổng thể nhỏ số (xem Pythagorean tuning). Các môn đồ Pythagoras trình bày tỉ mỉ một lý thuyết về các con số, ý nghĩa thực sự của nó hiện vẫn gây tranh cãi giữa các học giả.
Các tác phẩm
Không văn bản nào của Pythagoras còn tồn tại tới ngày nay, dù các tác phẩm giả mạo tên ông - hiện vẫn còn vài cuốn - đã thực sự được lưu hành vào thời xưa. Những nhà phê bình thời cổ như Aristotles và Aristoxenus đã tỏ ý nghi ngờ các tác phẩm đó. Những môn đồ Pythagoras thường trích dẫn các học thuyết của thầy với câu dẫn autos ephe (chính thầy nói) - nhấn mạnh đa số bài dạy của ông đều ở dạng truyền khẩu. Pythagoras xuất hiện với tư cách một nhân vật trong tác phẩm Metamorphoses của Ovid, trong đó Ovid đã để Pythagoras được trình bày các quan điểm của ông.
Ảnh hưởng tới Platon
Pythagoras hay ở nghĩa rộng hơn là các môn đồ của Pythagoras được cho là đã gây ảnh hưởng mạnh tới Platon. Theo R. M. Hare, ảnh hưởng của ông xuất hiện ở ba điểm:
1. Tác phẩm Cộng hòa của Platon có thể liên quan tới ý tưởng "một cộng đồng được tổ chức chặt chẽ của những nhà tư tưởng có cùng chí hướng", giống như một ý tưởng đã được Pythagoras đưa ra tại Croton.
2. có bằng chứng cho thấy có thể Platon đã lấy ý tưởng của Pythagoras rằng toán học, và nói chung, tư tưởng trừu tượng là một nguồn tin cậy cho sự tư duy triết học cũng như "cho các luận đề quan trọng trong khoa học và đạo đức".
3. Platon và Pythagoras cùng có chung ý tưởng "tiếp cận một cách thần bí tới tâm hồn và vị trí của nó trong thế giới vật chất". Có lẽ cả hai người cùng bị ảnh hưởng từ truyền thống Orpheus[1].
Sự điều hòa của Platon rõ ràng bị ảnh hưởng từ Archytas, một môn đồ Pythagoras thật sự ở thế hệ thứ ba, người có nhiều đóng góp quan trọng vào hình học, phản ánh trong Tập VIII trong sách Elements của Euclid.
Các câu trích dẫn nói về Pythagoras
• "Ông ta được khâm phục đến nỗi các môn đồ của ông thường được gọi là 'những nhà tiên tri tuyên truyền ý Chúa'...", Diogenes Laertius, Lives of Eminent Philosophers, VIII.14, Pythagoras; Loeb Classical Library No. 185, p. 333
• "...the Metapontines named his house the Temple of Demeter and his porch the Museum, so we learn from Favorinus in his Miscellaneous History.", Diogenes Laertius, Lives of Eminent Philosophers, VIII.15, Pythagoras; Loeb Classical Library No. 185, p. 335
• "Hoa quả của đất chỉ nở một hai lần trong năm, còn hoa quả của tình bạn thì nở suốt 4 mùa"
• Định lý Pythagoras
• Định lý cuối cùng của Fermat
• Học phái Pythagoras
• Định lý tổng 3 góc của tam giác




Tiểu sử Euclid
Euclid

Chân dung Euclid của Justus van Ghent vào thế kỉ 15. Không có tranh tượng hoặc miêu tả nào về bề ngoài của Euclid từ thời ông còn lại đến nay
Sinh khoảng 330 TCN
Nơi ở Alexandria, Ai Cập
Quốc tịch Hy Lạp
Ngành Toán học
Nổi tiếng vì Euclid's Elements
Euclid (tiếng Hy Lạp: Εὐκλείδης, phiên âm tiếng Việt là Ơ-clit) là nhà toán học lỗi lạc thời cổ Hy Lạp, sống vào thế kỉ thứ 3 TCN. Có thể nói hầu hết kiến thức hình học ở cấp trung học cơ sở hiện nay đều đã được đề cập một cách có hệ thống, chính xác trong bộ sách Cơ sở gồm 13 cuốn do Euclid viết ra. Tục truyền rằng có lần hoàng đế Ptolemy I Soter hỏi Euclid: "Liệu có thể đến với hình học bằng con đường khác ngắn hơn không?". Ông trả lời ngay: "Tâu bệ hạ, trong hình học không có con đường dành riêng cho vua chúa"[cần dẫn nguồn].
Euclid sinh ở Athena, sống khoảng 330-275 trước Công nguyên, được hoàng đế Ptolemy I mời về làm việc ở Alexandria, một trung tâm khoa học lớn thời cổ trên bờ biển Địa Trung Hải.
Bằng cách chọn lọc, phân biệt các loại kiến thức hình học đã có, bổ sung, khái quát và sắp xếp chúng lại thành một hệ thống chặt chẽ, dùng các tính chất trước để suy ra tính chất sau, bộ sách Cơ sở đồ sộ của Euclid đã đặt nền móng cho môn hình học cũng như toàn bộ toán học cổ đại. Bộ sách gồm 13 cuốn: sáu cuốn đầu gồm các kiến thức về hình học phẳng, ba cuốn tiếp theo có nội dung số học được trình bày dưới dạng hình học, cuốn thứ mười gồm các phép dựng hình có liên quan đến đại số, 3 cuốn cuối cùng nói về hình học không gian. Trong cuốn thứ nhất, Euclid đưa ra 5 định đề:
1. Qua hai điểm bất kì, luôn luôn vẽ được một đường thẳng
2. Đường thẳng có thể kéo dài vô hạn.
3. Với tâm bất kì và bán kính bất kì, luôn luôn vẽ được một đường tròn.
4. Mọi góc vuông đều bằng nhau.
5. Nếu 2 đường thẳng tạo thành với 1 đường thẳng thứ 3 hai góc trong cùng phía có tổng nhỏ hơn 180 độ thì chúng sẽ cắt nhau về phía đó.
Và 5 tiên đề:
1. Hai cái cùng bằng cái thứ ba thì bằng nhau.
2. Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau.
3. Bớt đi những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau.
4. Trùng nhau thì bằng nhau.
5. Toàn thể lớn hơn một phần.
Với các định đề và tiên đề đó, Euclid đã chứng minh được tất cả các tính chất hình học.
Con đường suy diễn hệ thống và chặt chẽ của bộ cơ bản làm cho tập sách được chép tay và truyền đi các nước. Tuy nhiên, các định đề và tiên đề của Euclid còn quá ít, đặc biệt là không có các tiên đề về liên tục, nên trong nhiều chứng minh, ông phải dựa vào trực giác hoặc thừa nhận những điều mà ông không nêu thành tiên đề.
Tiên đề Euclid về đường thẳng song song


Nếu tổng hai góc trong bằng 180°, thì các đường thẳng là song song và không cắt nhau.
Trong hình học, định đề song song hay định đề thứ năm của Euclid do nó là định đề thứ năm trong Cơ sở của Euclid, là một tiên đề trong cái mà ngày nay gọi là hình học Euclid.
Nội dung tiên đề Euclid
Thừa nhận tích chất sau mang tên "tiên đề Euclid":
Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Ngoài ra có thể phát biểu tiên đề dưới các dạng sau:
• Nếu qua điểm M nằm ngoài đường thẳng a có 2 đường thẳng song song với a thi chúng trùng nhau.
• Cho điểm M ở ngoài đường thẳng a. Đường thẳng đi qua M và song song với a là duy nhất.
Tính chất của hai đường thẳng song song
Nhờ tiên đề Euclid người ta suy ra tính chất sau: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:
1. Hai góc so le trong bằng nhau;
2. Hai góc đồng vị bằng nhau;
3. Hai góc trong cùng phía bù nhau.
Cách phát biểu của Euclid:
Tổng diện tích của hai hình vuông vẽ trên cạnh kề của một tam giác vuông bằng diện tích hình vuông vẽ trên cạnh huyền của tam giác này.
Một tam giác vuông là một tam giác có một góc vuông; các cạnh kề góc vuông đó còn gọi là cạnh góc vuông thuộc tam giác đó; cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông. Trong hình vẽ dưới, a và b là các cạnh kề(cạnh góc vuông), c là cạnh huyền:

Pytago đã phát biểu định lý mang tên ông trong cách nhìn của hình học phẳng thông qua:
Diện tích hình vuông tím(hinh c) bằng tổng diện tích hình vuông đỏ (b) và xanh lam (a).
Tương tự, quyển tsubasa chép:
Một dây thừng nối dọc đường chéo hình chữ nhật tạo ra một diện tích bằng tổng diện tích tạo ra từ cạnh ngang và cạnh dọc của hình chữ nhật đó.
Dùng đại số sơ cấp hay hình học đại số, có thể viết định lý Pytago dưới dạng hiện đại, chú ý rằng diện tích một hình vuông bằng bình phương độ dài của cạnh hình vuông đó:
Nếu một tam giác vuông có cạnh kề dài bằng a và b và cạnh huyền dài c, thì a2 + b2 = c2
[sửa] Định lý đảo
Định lý đảo Pytago phát biểu là:
Cho ba số thực dương a, b, và c thỏa mãn a2 + b2 = c2, tồn tại một tam giác có các cạnh là a, b và c, và góc giữa a và b là một góc vuông.
AB^2=A'B'^2=a^2,AC^2=A'C'^2=b^2
theo dinh li Py-ta-go ta co tam giác A'B'C' vuông tại A'=>A'B'^2+A'C'^2=B'C'^2(theo định lí Pytago)=AB^2+AC^2=a^2+b^2=c^2=BC^2=B'C'^2 BC^2=B'C'^2=>BC=B'C' nen c'=c xet tam giac ABC va tam giác A'B'C' có:AB=A'B',AC=A'C',BC=B'C' => tam giac ABC=tam giacA'B'C'(c.c.c) suy ra tam giac ABC co a=90 Định lý đảo này cũng xuất hiện trong quyển Các nguyên tố và được phát biểu bởi Euclid là:
Nếu bình phương của một cạnh của một tam giác bằng tổng bình phương hai cạnh kia, thì tam giác có góc nằm giữa hai cạnh nhỏ là góc vuông.
[sửa] Định lý tổng quát
Kết hợp cả định lý thuận và đảo, có thể viết định lý Pytago dưới dạng:
Một tam giác có ba cạnh a, b và c, thì nó là tam giác vuông với góc vuông giữa a và b khi và chỉ khi a2 + b2 = c2
Dùng khái niệm véctơ, có thể phát biểu định lý này là:
Cho hai véctơ và , khi và chỉ khi và vuông góc với nhau.
Sử dụng bất đẳng thức tam giác của các véctơ, định lý Pytago trở thành trường hợp đẳng thức của bất đẳng thức tam giác:

tương đương

Định lý nhỏ Fermat
Bài chi tiết: Định lý nhỏ Fermat
Với p là một số nguyên tố khác 2 thì chia một số a lũy thừa p cho p sẽ có số dư chính bằng a:

[sửa] Định lý lớn Fermat


Nguyên văn bản viết tay của Pierre de Fermat ngày 4/3 1660, hiện lưu giữ tại Departmental Archives of Haute-Garonne, Toulouse


Bên phải là phần lề giấy nổi tiếng của Fermat, nơi theo ông, không đủ viết chứng minh định lý đầy đủ vào
Bài chi tiết: Định lý lớn Fermat
Câu chuyện về định lý cuối cùng của Fermat là câu chuyện độc nhất vô nhị trong lịch sử toán học thế giới, khởi nguồn từ cổ đại với nhà toán học Pythagore. Bài toán cuối cùng (sau này giới toán học gọi là Định lý cuối cùng của Fermat, hay Định lý lớn Fermat) có gốc từ định lý Pythagore: "Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông". Fermat thay đổi phương trình Pythagore và tạo ra một bài toán khó bất hủ.
Xét phương trình Pythagore:

Người ta có thể hỏi những nghiệm số nguyên của phương trình này là gì, và có thể thấy rằng:

và


Nếu tiếp tục tìm kiếm thì sẽ tìm thấy rất nhiều nghiệm như vậy. Fermat khi đó xét dạng bậc ba của phương trình này:

Ông đặt câu hỏi: có thể tìm được nghiệm (nguyên) cho phương trình bậc ba này hay không? Ông khẳng định là không. Thực ra, ông khẳng định điều đó cho họ phương trình tổng quát:

trong đó n lớn hơn 2 không thể tìm được nghiệm (nguyên) nào. Đó là Định lý Fermat cuối cùng.
Điều lý thú ở đây là phỏng đoán này được Fermat ghi bên lề một cuốn sách mà không chứng minh, nhưng có kèm theo dòng chữ: "Tôi có một phương pháp rất hay để chứng minh cho trường hợp tổng quát, nhưng không thể viết ra đây vì lề sách quá hẹp."!!
Các nhà toán học đã cố gắng giải bài toán này trong suốt 300 năm. Trong lịch sử đi tìm lời giải cho định lý cuối cùng của Fermat có người phải tự tử và có cả sự lường gạt... Và cuối cùng nhà toán học Andrew Wiles (một người Anh, định cư ở Mỹ, sinh 1953) sau 7 năm làm việc trong cô độc và 1 năm giày vò trong cô đơn đã công bố lời giải độc nhất vô nhị vào mùa hè năm 1993 và sửa lại năm 1995, với lời giải dài 200 trang.
[sửa] Xem thêm
• Đẳng thức Pell-Fermat
x2 - n y2 = 1
Bất cứ số nguyên tố nào có dạng 4n+1 đều là tổng của hai số bình phương (Được chứng minh bởi Euler)
Bất cứ số nào cũng tự phân tích ra thành 3 theo hình tam giác, 4 theo hình vuông, 5 theo hình ngũ giác...
[sửa] Đọc thêm
• Simon Singh, Định Lý Cuối Cùng Của Fermat, Phạm Văn Thiều và Phạm Việt Hưng dịch, Tp.HCM:Nxb Trẻ
• Amir D. Aczel, Câu chuyện hấp dẫn về bài toán Phécma, Trần Văn Nhung, Đỗ Trung Hậu, Nguyễn Kim Chi dịch, Hà Nội:Nxb Giáo dục, 2000
Tiếng Anh
• Amir D. Aczel, Fermat's Last Theorem, New York/London:Four Walls Eight Windows
[sửa] Liên kết ngoài
• Thông tin thêm về Những công trình của Fermat
• Thông tin tham khảo thêm về Wiles và quá trình giải bài toán
• Phỏng vấn Andrew Wiles về quá trình giải bài toán Fermat
• Nội dung lời giải của Wiles bằng tiếng Anh
• Lời giải của Andrew Wiles
• Cách chứng minh thứ 2 của định lý Fermat lớn 23/08/2005
• Diễn giải cách chứng minh thứ 2 của định lý Fermat lớn